Équation diophantienne 50x+9y = 1 - Corrigé

Énoncé

Résoudre l'équation $(E):50x+9y=1$ dans ${\mathbb{Z}}^2$ .

Solution

On applique l'algorithme d'Euclide pour $50$ et $9$ :
$\begin{array}{r}\begin{array}{|cccc|}\hline a& b& q& r\\ 50& 9& 5& 5\\ 9& 5& 1& 4\\ 5& 4& 1& 1\\ 4& 1& 4& 0\\ \hline\end{array}\begin{array}{l}\\ \times 2\\ \times (-1)\\ \times 1\\ \end{array}\end{array}$  
On a donc $\mathrm{PGCD}(50;9)=1$ , et comme $1$ divise $1$ , l'équation $(E)$ admet des solutions.

En additionnant les lignes après avoir éliminé les restes intermédiaires, on obtient :
$\begin{array}{rl}50\times 2+9\times (-1)=9\times 5\times 2+1& ⟺50\times 2+9\times (-11)=1\end{array}$ donc $(x_0;y_0)=(2;-11)$ est une solution particulière de $(E)$ .

Soit $(x;y)$ une solution de $(E)$ .
On a  $\begin{array}{rl}50x+9y=50\times 2+9\times (-11)& ⟺50(x-2)=9(-y-11)\end{array}$ . 
On en déduit que $50$ divise $9(-y-11)$ .
Or $\mathrm{PGCD}(50;9)=1$ , donc d'après le théorème de Gauss, $50$ divise $-y-11$ , c'est-à-dire qu'il existe $k\in \mathbb{Z}$ tel que  $\begin{array}{r}-y-11=50k⟺y=-50k-11\end{array}$ .
On a alors
$\begin{array}{rl}50(x-2)=9(-y-11)& ⟺50(x-2)=9\times 50k\\ & ⟺x-2=9k\\ & ⟺x=9k+2.\end{array}$    
Ainsi, les solutions de $(E)$ sont des couples de la forme $(x;y)=(9k+2;-50k-11)$ avec $k\in \mathbb{Z}$ .

Réciproquement, soit $k\in \mathbb{Z}$ quelconque et $(x;y)=(9k+2;-50k-11)$ .
On a  $\begin{array}{rl}50x+9y& =50(9k+2)+9(-50k-11)=50\times 2+9\times (-11)=1\end{array}$ donc $(x;y)$ est solution de $(E)$ .

En conclusion, les solutions de $(E)$ sont données par $S=\{(9k+2;-50k-11):k\in \mathbb{Z}\}$ .